今回は、三角比の相互関係と呼ばれる3つの公式と、公式や定理を証明する意味ついて解説していきます。

まずは、前回のおさらいをしましょう。数学では、定義は必ず暗記しなければならないものでしたね。

そして、数学は道具です。

計算練習を数多く積んで、三角比という道具を使い慣れることが、この単元では重要なことでした。

その道具と、使い方は以下の通りです。

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さて、数学では「公式」や「定理」といった言葉が出てきますよね。

中学校では「解の公式」、「三平方の定理(ピタゴラスの定理)」、「円周角の定理」などがありました。

ここで質問です。「公式や定理は丸暗記すべきことだと思っていますか?

もし、この質問に「はい」と答えてしまった場合は、いつか必ず数学で躓くことになるでしょう。
公式や定理は、結果的に覚えてしまうものであって、決して初めから丸暗記するものではありません。

定理」は、「定義から示されること、証明されること」です。

定理がどのような過程を経て証明されたのか、それを知っている人とそうでない人の間に大きな差があります
(初めて学習する場合、証明が理解できないことがあります。その場合は、理解よりも先に、定理の使い方と公式の計算慣れを優先して行うと良いでしょう。)

基礎~標準的な数学の問題を解くとき、数学が得意な人もそうでない人も、結果的には公式や定理を覚えて使っています

しかし、応用問題を解くとき、数学が得意な人は思考して手が出せますが、数学が得意でない人は、全く手が出ません。なぜでしょうか。

例えば、「☆を求めなさい。」という応用問題があったとします。

公式一発では解けない問題です。

数学が苦手な人の多くは、自分が今までに解いたことがあるか頭の中を検索します。

そして、見たことがない問題と判断した場合、何も手を付けることなく終わってしまいます。

加え、公式を忘れてしまった場合、詰みます。丸暗記に頼る人は、公式を誤った形で使うこともあり、ますます解けなくなります
対して、数学が得意な人は、「☆を求めるためには○が分かっていて欲しいな。○を求めるには△を求めなければならない。△を求めるには~~の定理から・・・」と考えます。

公式や定理を理解していれば、このようにして応用問題に立ち向かうことができ公式を忘れていたとしても、その場で作り直し、利用することができます
ます

つまり、「どこまで公式や定理を理解できているか」が応用問題を解けるかどうかのカギなのです。

まずは簡単な問題を見てみましょう。

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これらの問題は公式一発で解けます。ただし、公式を正確に覚えていればです。

公式を忘れてしまった場合、何もできなくなります

この問題を見たとき、「あの公式どんなだっけ?」と考えてしまった人、非常にまずいです!

公式を忘れてしまった人は、次の画像を見て、公式を思い出すと共に、何故その公式が成り立っているのかを理解してみましょう。

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これらこそ、「三角比の相互関係」と呼ばれる公式です。
どうでしょう、理解できましたでしょうか?実際に行われている計算はそんなに難しくありませんよね。

公式を忘れたときは、定義から作ることにチャレンジしてみて下さい!
そして、この公式から理解していなければならないこと、それは

三角比の値が1つでも分かれば、残りの三角比の値は全て求められる!

です。

これを理解しているかどうかが、次に示す応用問題に手を出せるかどうかの分かれ目です

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三角形の面積を求めるためには、sinθの値が必要ですから、三角比の相互関係から求めれば良いですね!

あとは面積公式一発です。(まだ解説していない内容を含むので、意味が分からない人はスルーしてOKです)
「cosθ=1/5である。残りの三角比の値を求めよ。」なら解けるのに、「この問題はsinθが分からないから求められない」と考えてしまう人をよく見ます。

三角比の値が1つでも分かれば、残りの三角比の値は全て求められるのですから、ここで公式を利用すればよいのです。

色んな問題を解いているとき、「こんな発想、自分にはできない」と思ったりしていませんか?

その中には、公式を理解していれば容易に手を出せる問題があったかもしれません
今現在、丸暗記している公式を見直し、証明することで理解に変えてみましょう!

数学の見え方がぐっと変わることでしょう。

以上です。ありがとうございました。

単元別攻略「三角比(3)」~中級編⑩三角比の値の定義と単位円~