今回も三角形の面積公式についてお話しします。

 

輝泉塾講師
前回、三角形の面積公式はたくさんある、とお話ししましたね。

輝泉塾講師
今回は、三角形とその内接円に関わる大事な面積公式と、覚える必要がほとんどないヘロンの公式を紹介します。

生徒
分かりました!

輝泉塾講師
まず、ヘロンの公式は三角形の3辺の長さが分かっているときに使える定理なのですが、練習する必要も覚える必要もありません。もし、大事な公式だと習っていたとしても忘れて結構です。

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生徒
何故覚える必要がないのですか?

輝泉塾講師
前回の公式を思い出してみましょう。

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輝泉塾講師
三角形の面積を求めるときに必要なのは、小学生なら底辺と高さの長さでした。前回紹介した公式から見れば、2辺の長さとその挟む角の正弦の値ですね
生徒
正弦の値というのはsinθのことですか?

 

輝泉塾講師
はい、その通りです。言葉の意味も少しずつ覚えていってくださいね。

輝泉塾講師
ところで、ヘロンの公式は三角形の3辺の長さが分かっているときに使える定理と言いました。2辺の長さはすでに分かっているので、あとは挟む角の正弦の値が分かれば良いです。

生徒
先生、正弦定理を使っても他の角度が分からないので求められません。

輝泉塾講師
三角比の値が1つでも分かれば、残りの三角比の値は全て求められる!と以前にお話ししたことは覚えていますか?

輝泉塾講師
今の目標は正弦の値を求めることですが、別に余弦の値を求めても構いませんね。三角比の相互関係で正弦の値は求められますからね。

生徒
そうか!余弦定理でcosθの値を求めてからsinθを求めれば面積が求められる!!!
輝泉塾講師
その通りです今までの知識を使えば必ず面積を求められるので、わざわざヘロンの公式を使う必要はありませんね。
生徒
何を覚えて何を覚えなくて良いのか分別つけると、覚える量が減りますね。ありがとうございました。
輝泉塾講師
では本題に入りましょう。三角形とその内接円に関わる大事な面積公式をお教えします。まずは、教科書等に書いてあるあまり覚えて欲しくない形から見せます。

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生徒
この公式は確かに正しいのですが、何故成り立つのかが式の形から見えません。こちらではなく、次の形で覚えて欲しいです。

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輝泉塾講師
説明します。三角形の各辺は内接円の接線になっていますから、半径と各辺のなす角は90°です。

輝泉塾講師
三角形の面積の公式は底辺×高さ×1/2で求められまから、△IBC,△ICA,△IABの面積はそれぞれar/2,br/2,cr/2になりますね。

生徒
半径が小さい三角形3つのそれぞれの高さになっているんですね!

輝泉塾講師
そうです。この小さい三角形3つで△ABCができていますから、これらを加えれば、△ABCの面積が求められます。中学範囲だけで説明できましたね。

輝泉塾講師
この構造が見えるような形で公式を覚えて欲しいです。

no name
言われてみれば簡単なのですが、言われないと気づけません・・・

輝泉塾講師
数学にどれだけ正面から立ち向かったかの経験の差です。この問題はこう解く、あの問題はこう解く・・・と理解の伴わぬ暗記を繰り返しているとどうしてもそうなってしまいます

輝泉塾講師
でも大丈夫、原因がわかればあとは対策するだけです。公式は理解するものです。理解していれば、公式の証明で用いた考え方を他の問題に応用していくことができるようになります。

輝泉塾講師
コツコツと勉強していきましょう!最後に、今日の公式をまとめておきます。お疲れ様でした。

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